Город бешаных рефератиков
.

.

РАЗДЕЛЫ

РЕКОМЕНДУЕМ

КАТАЛОГ РЕФЕРАТОВ

Реферат Двойной интеграл в полярных координатах (WinWord)

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos , y = r sin . (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:

rj = rj+1 - rj,
i = i+1 - i

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj i rj (3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i, yij = rj sin i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cos, r sin)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем





(8)

Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)







Пример 1.
Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).




ГОРОДСКИЕ ЗАКОНЫ

Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.

РЕКЛАМА









© ReferatCity.ru, рефераты, курсовые, дипломы, 2007-2018
При копирование материалов ссылка на сайт приветствуется.